柯西不等式：柯西不等式积分、一般形式

本期粤秀教育小编将介绍柯西不等式的表述形式，如柯西不等式的复数形式、积分形式、一般形式等，还包括柯西不等式的推导证明、柯西不等式的推广及应用等。

一、不等式表述

柯西不等式有着众多的表述形式，例如：一般形式、复数形式、积分形式等。

一般形式

设是正整数且，则有：，当且仅当时取到等号。

复数形式

设是正整数且，则有：.

积分形式

设是区间上的可积函数，则有：.

概率论形式

设是两个随机变量，则有：.

二、推导证明

这里给出一般形式的若干种证法：

证法一

记. 则关于的二次函数. 因此，其判别式. 化简后即为柯西不等式。

证法二

由拉格朗日恒等式,.[3]

证法三

由齐次性，可不妨设, 则：, 对该式平方后即可得到原不等式。

证法四

对归纳证明该不等式成立. 易知时不等式成立. 若时不等式成立，则时：因此该不等式成立。

三、柯西不等式的推广

赫尔德不等式

设是正整数且，设1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1″>则有：.[2]

卡尔松不等式

设是正整数且则有:. 当且仅当时取到等号.[4]

四、柯西不等式的应用

利用柯西不等式可以解决很多不等式问题，例如Nesbitt不等式：

设是正实数，则：.[3]

证明：由柯西不等式, 因此.